Родился 1 апреля 1922 года в селе Плисков (ныне Погребищенского района Винницкой области Украины), в семье сельского врача. С 10 лет жил и учился в Москве. В 1940 году после окончания средней школы поступил в авиационное училище в городе Поставы в Западной Белоруссии. Война застала его близ границы в полевом лагере. Алексеев был откомандирован в Оренбургское лётное училище, без отрыва от учёбы поступил на вечернее отделение исторического факультета Оренбургского пединститута, полный курс которого прошёл за год и пять месяцев, получив диплом в 1944 году. По окончании лётного училища был оставлен в нём инструктором и до конца войны учил молодых лётчиков. С авиацией расстался в конце 1945 года из-за тяжёлых травм, полученных в учебном полёте. В литературно-общественную жизнь Алексеев вошёл сначала как редактор и критик, а потом уже и как писатель. С 1946 года — редактор издательства «Детская литература», с 1950 года — ответственный секретарь, позже — председатель Комиссии по детской литературе СП СССР, автор статей по вопросам развития литературы для детей. В 1965—1996 — главный редактор журнала «Детская литература».