Родился 13 ноября 1850 в Эдинбурге, в семье инженера. При крещении получил имя Роберт Льюис Бэлфур, но в зрелом возрасте отказался от него, сменив фамилию на Стивенсон, а написание второго имени с Lewis на Louis (без изменения произношения).

С юности Роберт был склонен к занятиям техникой. После окончания школы поступил в Эдинбургский университет. Остановив свой выбор на юриспруденции, получил звание адвоката, но едва ли когда-нибудь занимался практикой, поскольку состояние здоровья, с одной стороны, и первые успехи на литературном поприще, с другой, убедили его предпочесть адвокатуре литературу. В 1873-1879 жил преимущественно во Франции на скудные заработки подающего надежды литератора и редкие денежные переводы из дома, сделался своим человеком в «городках» французских художников. К этому же периоду относятся поездки Стивенсона по Франции, Германии и родной Шотландии, в результате которых появились его первые две книги путевых впечатлений — «Поездка внутрь страны» (An Inland Voyage, 1878) и «Путешествия с ослом» (Travels with a Donkey in the Cevennes, 1879). Эссе, написанные в этот период, были им собраны в книге Virginibus Puerisque (1881). Во французской деревушке Грез, известной своими собраниями и встречами художников, Роберт Льюис встретил Франсес Матильду (Вандегрифт) Осборн, американку старше его на десять лет, увлекавшуюся живописью. Разъехавшись с мужем, она жила с детьми в Европе. Стивенсон горячо полюбил её, и, как только развод был получен, 19 мая 1880, влюблённые сочетались браком в Сан-Франциско. Их совместная жизнь была отмечена неусыпной заботой Фанни о болезненном муже. Стивенсон подружился с её детьми, а впоследствии его пасынок (Сэмюэл) Ллойд Осборн стал соавтором трёх его книг: «Несусветный багаж» (The Wrong Box, 1889), «Отлив» (The Ebb-Tide. A Trio and a Quartette, 1894) и «Потерпевшие кораблекрушение» (The Castaways of Soledad, 1892).

В 1880 Стивенсону был поставлен диагноз — туберкулёз. В поисках целительного климата он посетил Швейцарию, юг Франции, Борнмут и, в 1887-1888, Саранак-Лейк в штате Нью-Йорк. Отчасти из-за плохого здоровья, отчасти чтобы собрать материал для очерков, Стивенсон с женой, матерью и пасынком отправился на яхте в южные области Тихого океана. Они посетили Маркизские острова, Туамоту, Таити, Гаваи, Микронезию и Австралию и приобрели участок земли на Самоа, экономии ради решив надолго обосноваться в тропиках. Своё владение он назвал Вайлима (Пятиречье). Стремясь к наиболее тесному общению с местными жителями, Стивенсон принимал глубокое участие в их судьбе и выступал в печати с разоблачением колониальной администрации — к этому периоду в его творчестве относится роман «Восемь лет в опасности на Самоа» (A Footnote to History: Eight Years of Trouble in Samoa, 1893). Протест Стивенсона был, однако, только лишь протестом романтика, однако людьми он забыт не был. Климат острова пошёл ему на пользу: в просторном плантаторском доме в Вайлиме были написаны некоторые из лучших его произведений. В том же доме 3 декабря 1894 он скоропостижно скончался. Почитатели-самоанцы похоронили его на вершине соседней горы. На могильной плите начертаны слова из его знаменитого «Завещания» («Под необъятным звёздным небом...»). Основным вкладом в литературу Стивенсона можно назвать то, что он возродил в Англии приключенческий и исторический роман. Но при всём мастерстве повествования он не сумел поднять его до тех высот, на которых стояли эти жанры у его предшественников. Большей частью автора интересовало приключение ради приключения, ему чужды были более глубокие мотивы приключенческого романа, как у Даниэля Дефо, а в историческом романе он отказывался от изображения больших общественных событий, ограничивая себя показом приключений героев, для которых история служит лишь случайным фоном. Успех известных книг Стивенсона отчасти объясняется увлекательностью затронутых в них тем: пиратские приключения в «Острове сокровищ» (Treasure Island, 1883), фантастика ужасов в «Странной истории доктора Джекила и мистера Хайда» (The Strange Case of Dr. Jekyll and Mr. Hyde, 1886) и детская восторженность в «Детском цветнике стихов» (A Child's Garden of Verses, 1885). Однако помимо этих достоинств следует отметить стремительный рисунок характера Джона Сильвера, плотность слога в Докторе Джекиле и мистере Хайде, блёстки иронии в «Детском цветнике стихов», свидетельствующие о разносторонности его таланта.

Свою литературную деятельность он начал с чрезвычайно ценимых в ту пору эссе, написанных в непринужденной форме, и никогда не изменял этому жанру. Его статьи о писателях и писательском искусстве — «Скромное возражение» (A Humble Remonstrance, 1884), «Сновидения» (Dreams, 1888), «О некоторых технических элементах литературного стиля» (On Some Technical Elements of Style in Literature, 1885) и др. — сближают его с Генри Джеймсом. В путевых заметках «Путешествие с ослом», «Поселенцы Сильверадо» (The Silverado Squatters, 1883) и «В Южных морях» (In the South Seas, 1890) мастерски воссоздан местный колорит, к тому же последние представляют особый интерес для исследователей. Малоизвестные литературные анекдоты Стивенсона стоят в ряду самых едких, остроумных и лаконичных в английской литературе. Стихи он писал от случая к случаю и редко относился к ним серьёзно. Чтобы проникнуть в мир некоторых произведений Стивенсона — «Похищенный» (Kidnapped, 1886) и его продолжение «Катриона» (Catriona, 1893), «Владетель Баллантрэ» (The Master of Ballantrae, 1889), «Весёлые молодцы» (The Merry Men, 1882), «Окаянная Дженет» (Thrawn Janet, 1881), — читателю потребуется хотя бы поверхностное знакомство с языком и историей Шотландии. Почти все они — за исключением «Окаянной Дженет», маленькой жемчужины в жанре рассказов о привидениях, — написаны неровно. «Чёрную стрелу» (The Black Arrow, 1883) и «Сент-Ив» (St. Ives, 1897) можно отнести к числу явных неудач. «Несусветный багаж» и «Клуб самоубийц» (The Suicide Club, 1878), а также рассказы, являющиеся их продолжением (некоторые написаны в соавторстве с Фанни), не всем придутся по вкусу. Однако «Берег Фалеза» (The Beach of Falesa, 1892) — один из лучших рассказов, когда-либо написанных о Южных морях, и чрезвычайно занимательны нередко печатавшиеся вместе с ним островные фантазии «Сатанинская бутылка» (The Bottle Imp, 1891) и «Земля голосов» (The Isle of Voices, 1893). Принято считать, что «Уир Гермистон» (Weir of Hermiston, 1896) мог бы стать одним из великих романов XIX века, однако Стивенсон успел закончить лишь треть книги.