Александр Штейн родился в Самарканде (ныне Узбекистан) в семье служащего. В 1920—1923 годах работал в газете «Правда Востока», в 1924—1929 годах — в газете «Ленинградская правда». Учился в Ленинградском университете на факультете языка и материальной культуры (1928—1930). В 1930—1939 годах работал редактором журнала «Рабочий и театр» и заместителем редактора газеты «Литературный Ленинград». Главный редактор журнала «Искусство и жизнь» (1935—1940). Член ВКП(б) с 1930 года.
В 1941—1946 годах служил офицером на Балтийском флоте. Был редактором газеты линкора «Октябрьская революция», корреспондентом и начальником отдела культуры газеты «Красный флот». Член СП СССР с 1934 года.
Литературной деятельностью занимался с 1929 года, когда в соавторстве с братьями Тур и Я. Горевым появились его первые пьесы. В пьесу «Пролог» (1939) Штейн первоначально вставил сцену с участием Сталина, но при переработке в 1955 убрал её. Пьеса «Закон чести» (1948) разоблачает космополитизм в академической среде. Пьеса «Между ливнями» (1964) подверглась критике в «Правде» за то, что Ленин в ней изображён авторитарным руководителем.
Написал также ряд очерков, статей и рецензий. Член редколлегии журнала «Театр» с 1957 года.
А. П. Штейн умер 5 октября 1993 года. Похоронен в Москве на Ваганьковском кладбище.